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MIUゲームで「公理系」を理解する： 小島寛之『数学でつまずくのはなぜか』
最近読みはじめたブログ「ECONO斬り！！」の「ミクロ前半終了」というエントリで、「MIUゲーム」というものが紹介されていた。
【ＭＩＵゲームのルール（公理）】
１．「ＭＩ」はミュー語である。
２．ミュー語の最後がＩとなっていたら、その後にＵを付け加えたものもミュー語となる。
３．Ｍから始まるミュー語があったら、Ｍ以外の部分と同じものを後ろにつなげてもミュー語となる。
４．ミュー語にＩＩＩが含まれていたら、そのＩＩＩをＵに置き換えたものもミュー語になる。
５．ミュー語にＵＵが含まれていたら、それを削除してもミュー語になる。
これは、小島寛之『数学でつまずくのはなぜか』（講談社現代新書）という本のなかで紹介されているという。これは面白そうだと思い、この本をさっそく入手した。
ＭＩＵゲームは、『数学でつまずくのはなぜか』の第２章「幾何でのつまずき ～論証とＲＰＧ～」に詳しく出ていた。これのもともとの出典は、ダグラス・ホフスタッター『ゲーデル、エッシャー、バッハ』だという。
この第２章では、「論証とＲＰＧ」という副題の通り、一定のルール（公理）から出発して定理を導き出していくという数学の論証を、ＲＰＧ（ロールプレイングゲーム）になぞらえて説明している。理屈抜きに与えられる「公理」は、最初に与えられる「武器」であり、それを使って「定理」を導き出すことは、「敵を倒す」ことだとしている（最初に与えられる公理は、将棋の「桂馬」や「飛車」などの「ゲームの駒」だという説明もある）。
上記のＭＩＵゲームの公理が挙げられたあと、次のような説明がある。
＜公理１は、ミュー語が最初に一つだけ与えられていることを意味するものだ。公理２から公理５の四個の公理は、ミュー語を作り出すために許される手続きがこの四個のみであることを意味している（つまりこれら以外の勝手な方法で言葉を作ってはいけない、ということ）。この四個の手続きがわかりやすくなるように記号で書いておこう。
公理２： Ｍ～Ｉ → Ｍ～ＩＵ
公理３： Ｍ～ → Ｍ～～
公理４： Ｍ＊ＩＩＩ～ → Ｍ＊Ｕ～
公理５： Ｍ＊ＵＵ～ → Ｍ＊～
このＭＩＵゲームは現実の何とも対応していない。つまり無意味である。しかし、だからこそ、このゲームの世界に入りやすい、ともいえるだろう。なぜなら、他の現実的な経験や直感に全くじゃまされないからだ＞。
このような説明のあと、次の３つの定理の証明手順が解説されている。
（定理１） ＭＩＵはミュー語
（定理２） ＭＵＩＵはミュー語
（定理３） ＭＵＩＩＵはミュー語
定理１はかんたんで（弱い「敵」）、定理２・定理３はそれよりはやや長くなる（手ごわい「敵」）。
また定理３の証明において、定理２を使って証明を節約する方法も紹介されており、定理２は「敵」だったものが、倒すことで「武器」に変わる、と説明されている。
そして、ゲーデルの不完全性定理と似た特徴を持つものとして、
（定理４）ＭＩＵゲームの公理系では「ＭＵはミュー語」を証明できない
という定理も紹介されている（この内容は省略）。
上記定理の論証手順や、詳しい内容については、『数学でつまずくのはなぜか』を読んでみてほしい。
この本は「数学でつまずくのはなぜか」というタイトルだが、「数学とはなんなのか」というタイトルでもいい気がした。あるいは、「数学はいかにヘンな学問か」でもいいかもしれない。
（まだ読んでいる途中ではあるが）この本の中心にあるのは、普通の人が「数学でつまずく」原因は、数学という学問の特殊性にあるのだ、というメッセージだと思われる。上の「ＭＩＵゲーム」も、その特殊性をわかりやすく理解してもらうための題材だ。
数学は「理系」の学問だが、他の「理系」の学問である「自然科学」とはまったく異なる面がある。数学の定理は、その妥当性が論理的導出のみに依存しており、「現実」に無関係なので、必然的に成り立つ。これに対して科学の法則は、「現実」を記述するので、必然的に成り立つことはありえず、つねに反証される可能性がある。
数学と科学のこの決定的な違いを理解するには、「数学とはなんなのか」をある程度理解する必要がある。そのためには、無前提に与えられる「公理」、そこから論理的に導出された「定理」、それらで構築される「公理系」という、数学を構成する基礎概念を理解する必要がある。
『数学でつまずくのはなぜか』という本には、上の「ＭＩＵゲーム」をはじめとして、「数学とはなんなのか」を理解するための題材、きっかけがたくさん詰まっている。
なお、タイトルからは「数学に挫折した人向けの再入門」といった印象も受けるこの本だが、内容はていねいではあるが、わりと本格的な感じがする（論理学や基礎論の話題などもある）。その本格的な内容を、数学以外のメタファー・題材を幅広く使って説明するところが、おそらくあまり類書のない、この本の大きな特徴だろう。
関連：
hiroyukikojimaの日記 - 2008-01-18 『数学でつまずくのはなぜか』
http://d.hatena.ne.jp/hiroyukikojima/20080118
関連エントリ：
数学と科学の違い
http://mojix.org/2008/05/07/math_and_science
【ＭＩＵゲームのルール（公理）】
１．「ＭＩ」はミュー語である。
２．ミュー語の最後がＩとなっていたら、その後にＵを付け加えたものもミュー語となる。
３．Ｍから始まるミュー語があったら、Ｍ以外の部分と同じものを後ろにつなげてもミュー語となる。
４．ミュー語にＩＩＩが含まれていたら、そのＩＩＩをＵに置き換えたものもミュー語になる。
５．ミュー語にＵＵが含まれていたら、それを削除してもミュー語になる。
これは、小島寛之『数学でつまずくのはなぜか』（講談社現代新書）という本のなかで紹介されているという。これは面白そうだと思い、この本をさっそく入手した。
ＭＩＵゲームは、『数学でつまずくのはなぜか』の第２章「幾何でのつまずき ～論証とＲＰＧ～」に詳しく出ていた。これのもともとの出典は、ダグラス・ホフスタッター『ゲーデル、エッシャー、バッハ』だという。
この第２章では、「論証とＲＰＧ」という副題の通り、一定のルール（公理）から出発して定理を導き出していくという数学の論証を、ＲＰＧ（ロールプレイングゲーム）になぞらえて説明している。理屈抜きに与えられる「公理」は、最初に与えられる「武器」であり、それを使って「定理」を導き出すことは、「敵を倒す」ことだとしている（最初に与えられる公理は、将棋の「桂馬」や「飛車」などの「ゲームの駒」だという説明もある）。
上記のＭＩＵゲームの公理が挙げられたあと、次のような説明がある。
＜公理１は、ミュー語が最初に一つだけ与えられていることを意味するものだ。公理２から公理５の四個の公理は、ミュー語を作り出すために許される手続きがこの四個のみであることを意味している（つまりこれら以外の勝手な方法で言葉を作ってはいけない、ということ）。この四個の手続きがわかりやすくなるように記号で書いておこう。
公理２： Ｍ～Ｉ → Ｍ～ＩＵ
公理３： Ｍ～ → Ｍ～～
公理４： Ｍ＊ＩＩＩ～ → Ｍ＊Ｕ～
公理５： Ｍ＊ＵＵ～ → Ｍ＊～
このＭＩＵゲームは現実の何とも対応していない。つまり無意味である。しかし、だからこそ、このゲームの世界に入りやすい、ともいえるだろう。なぜなら、他の現実的な経験や直感に全くじゃまされないからだ＞。
このような説明のあと、次の３つの定理の証明手順が解説されている。
（定理１） ＭＩＵはミュー語
（定理２） ＭＵＩＵはミュー語
（定理３） ＭＵＩＩＵはミュー語
定理１はかんたんで（弱い「敵」）、定理２・定理３はそれよりはやや長くなる（手ごわい「敵」）。
また定理３の証明において、定理２を使って証明を節約する方法も紹介されており、定理２は「敵」だったものが、倒すことで「武器」に変わる、と説明されている。
そして、ゲーデルの不完全性定理と似た特徴を持つものとして、
（定理４）ＭＩＵゲームの公理系では「ＭＵはミュー語」を証明できない
という定理も紹介されている（この内容は省略）。
上記定理の論証手順や、詳しい内容については、『数学でつまずくのはなぜか』を読んでみてほしい。
この本は「数学でつまずくのはなぜか」というタイトルだが、「数学とはなんなのか」というタイトルでもいい気がした。あるいは、「数学はいかにヘンな学問か」でもいいかもしれない。
（まだ読んでいる途中ではあるが）この本の中心にあるのは、普通の人が「数学でつまずく」原因は、数学という学問の特殊性にあるのだ、というメッセージだと思われる。上の「ＭＩＵゲーム」も、その特殊性をわかりやすく理解してもらうための題材だ。
数学は「理系」の学問だが、他の「理系」の学問である「自然科学」とはまったく異なる面がある。数学の定理は、その妥当性が論理的導出のみに依存しており、「現実」に無関係なので、必然的に成り立つ。これに対して科学の法則は、「現実」を記述するので、必然的に成り立つことはありえず、つねに反証される可能性がある。
数学と科学のこの決定的な違いを理解するには、「数学とはなんなのか」をある程度理解する必要がある。そのためには、無前提に与えられる「公理」、そこから論理的に導出された「定理」、それらで構築される「公理系」という、数学を構成する基礎概念を理解する必要がある。
『数学でつまずくのはなぜか』という本には、上の「ＭＩＵゲーム」をはじめとして、「数学とはなんなのか」を理解するための題材、きっかけがたくさん詰まっている。
なお、タイトルからは「数学に挫折した人向けの再入門」といった印象も受けるこの本だが、内容はていねいではあるが、わりと本格的な感じがする（論理学や基礎論の話題などもある）。その本格的な内容を、数学以外のメタファー・題材を幅広く使って説明するところが、おそらくあまり類書のない、この本の大きな特徴だろう。
関連：
hiroyukikojimaの日記 - 2008-01-18 『数学でつまずくのはなぜか』
http://d.hatena.ne.jp/hiroyukikojima/20080118
関連エントリ：
数学と科学の違い
http://mojix.org/2008/05/07/math_and_science